Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Lời Giải Chi Tiết: Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bạn đang theo dõi bài viết hướng dẫn chi tiết Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá thuộc chương trình môn Toán học Lớp 12 của bộ sách . Để hoàn thành tốt bài học này, học sinh cần nắm vững các lý thuyết trọng tâm đã được thầy cô giảng dạy trên lớp, từ đó vận dụng linh hoạt vào việc phân tích và giải quyết các câu hỏi, bài tập thực hành. Bài viết dưới đây được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày tuần tự và rõ ràng lời giải cho từng mục trong SGK (bao gồm cả các câu hỏi thảo luận Khởi động/Khám phá lẫn bài tập tự luận cuối bài). Hãy đọc kỹ từng bước hướng dẫn (step-by-step) để hiểu rõ bản chất vấn đề thay vì chỉ sao chép kết quả cuối cùng nhé.
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
HĐ6
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
HĐ7
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
LT7
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
LT8
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
LT9
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
- HĐ6
- LT7
- HĐ7
- LT8
- LT9
- VD2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Gợi Ý Phương Pháp Tiếp Cận Cho Bài Học Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Với định hướng phát triển năng lực của bộ sách , các bài tập trong phần Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá thường không đơn thuần chỉ là việc áp dụng một công thức cứng nhắc. Môn Toán học Lớp 12 yêu cầu sự tư duy liên kết rất cao. Đối với các câu hỏi lý thuyết, học sinh cần rèn luyện kỹ năng đọc hiểu văn bản, trích xuất từ khóa (keyword) quan trọng để trả lời đúng trọng tâm, tránh lan man. Đối với dạng bài tập tính toán hay suy luận logic, điều quan trọng nhất là phải tóm tắt được đề bài (đề bài cho dữ kiện gì, yêu cầu tìm đại lượng nào), sau đó phác thảo sơ đồ tư duy giải quyết vấn đề trước khi bắt tay vào giải chi tiết. Lời giải được cung cấp trong bài viết này đã tuân thủ chặt chẽ nguyên tắc đó: luôn giải thích lý do tại sao lại sử dụng công thức/phương pháp này để các bạn dễ dàng theo kịp mạch tư duy.
Lưu Ý Quan Trọng Về Cách Trình Bày Bài Tập Môn Toán học
Một bài giải hoàn hảo không chỉ cần đáp số chính xác mà còn phụ thuộc rất lớn vào cách trình bày. Đối với học sinh Lớp 12, việc rèn luyện kỹ năng trình bày khoa học, sạch đẹp là vô cùng cần thiết để ghi trọn vẹn điểm số trong các kỳ thi tự luận. Khi tham khảo lời giải Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá trên website, các bạn hãy chú ý đến cấu trúc của một bài làm chuẩn mực. Nếu là một bài Toán/Lý/Hóa, hãy luôn nhớ ghi công thức tổng quát trước khi thay số, nhớ ghi đơn vị ở đáp số cuối cùng và có câu kết luận (Vậy...). Nếu là bài Văn/Sử/Địa, hãy trình bày thành các đoạn văn rõ ràng, có luận điểm, luận cứ rành mạch. Đừng bao giờ viết tắt những thuật ngữ chuyên ngành không được phép. Việc tuân thủ sự chỉn chu ngay từ khi làm bài tập về nhà sẽ giúp bạn tạo được thiện cảm rất lớn đối với giáo viên chấm bài.
Lời Khuyên Về Khả Năng Tự Nghiên Cứu Và Tham Khảo Khách Quan
Chúng tôi tạo ra chuyên trang lời giải sách môn Toán học với mong muốn mang đến một "gia sư ảo" (virtual tutor) miễn phí, giúp các bạn học sinh tháo gỡ những khúc mắc ngoài giờ lên lớp. Tuy nhiên, kiến thức luôn mang tính đa chiều, đặc biệt đối với các câu hỏi mở, câu hỏi vận dụng sáng tạo (VDC) trong SGK. Đáp án mà chúng tôi đưa ra trong bài Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá được xem là phương án tham khảo chuẩn mực và logic nhất, nhưng không phải là duy nhất. Chúng tôi luôn khuyến khích các bạn phát huy tư duy phản biện (Critical Thinking). Nếu bạn tìm ra một cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn, hoặc có một góc nhìn lập luận sắc bén hơn so với bài giải mẫu, hãy mạnh dạn chia sẻ nó trong phần Bình luận (Comment) ở phía dưới trang. Điều đó chứng tỏ bạn đã thực sự thấu hiểu và làm chủ được môn học này.
Góc Thảo Luận Và Hỗ Trợ Chuyên Môn Trực Tuyến
Quá trình tự học môn Toán học lớp 12 đôi khi sẽ khiến bạn cảm thấy đơn độc và bế tắc khi đối mặt với một vấn đề quá hóc búa. Đừng lo lắng! Chuyên mục hướng dẫn giải bài Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá của chúng tôi được thiết kế đi kèm với hệ thống hỏi đáp tương tác trực tiếp. Nếu trong quá trình đối chiếu bài giải mà bạn phát hiện ra một dấu phép tính bị sai sót do lỗi đánh máy, hoặc có một bước biến đổi công thức nào đó quá tắt khiến bạn không hiểu được, xin vui lòng để lại ý kiến ngay lập tức. Đội ngũ giáo viên và các kiểm duyệt viên học thuật của website sẽ thường xuyên theo dõi các câu hỏi của học sinh để giải đáp, giải thích lại cặn kẽ (reply) trong thời gian sớm nhất, đảm bảo luồng kiến thức bạn tiếp nhận luôn được thông suốt và chính xác tuyệt đối.