Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Lời Giải Chi Tiết: Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bạn đang theo dõi bài viết hướng dẫn chi tiết Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá thuộc chương trình môn Toán học Lớp 12 của bộ sách . Để hoàn thành tốt bài học này, học sinh cần nắm vững các lý thuyết trọng tâm đã được thầy cô giảng dạy trên lớp, từ đó vận dụng linh hoạt vào việc phân tích và giải quyết các câu hỏi, bài tập thực hành. Bài viết dưới đây được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày tuần tự và rõ ràng lời giải cho từng mục trong SGK (bao gồm cả các câu hỏi thảo luận Khởi động/Khám phá lẫn bài tập tự luận cuối bài). Hãy đọc kỹ từng bước hướng dẫn (step-by-step) để hiểu rõ bản chất vấn đề thay vì chỉ sao chép kết quả cuối cùng nhé.
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt: \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\)
- So sánh kết quả của hai tích phân.
Lời giải chi tiết:
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 (2x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 4 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {2{x^2}} \right]_1^2 = 2({2^2}) - 2({1^2}) = 8 - 2 = 6\)
Tính tích phân thứ hai:
\(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 2\int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = 2 \times \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 2 \times ({2^2} - {1^2}) = 2 \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = 6\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 6\)
Vậy, hai tích phân này bằng nhau.
HĐ5
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\), \(g(x) = 5\). Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx\) và \(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx\) và
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của \(f(x)\) và \(g(x)\) trên đoạn \([1;2]\).
- Áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx\)
Nguyên hàm của \(2x + 5\) là \({x^2} + 5x + C\):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} + 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 + 10} \right] - \left[ {1 + 5} \right] = 14 - 6 = 8\)
Tính tích phân từng hàm riêng:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 4 - 1 = 3\)
\(\int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 5 {\mkern 1mu} dx = \left[ {5x} \right]_1^2 = 10 - 5 = 5\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = 8\)
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 + 5 = 8\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) Tương tự, tính tích phân trong phần b):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x - 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} - 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 - 10} \right] - \left[ {1 - 5} \right] = - 6 + 4 = - 2\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 - 5 = - 2\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\). Tính \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta biết rằng:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Sử dụng giá trị đã cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\) để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Lời giải chi tiết:
Từ tính chất của tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
Theo đề bài, ta biết rằng:
\(3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = 14\)
Chia cả hai vế của phương trình cho 3:
\(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \frac{{14}}{3}\)
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {(5 - 2{e^x})dx} \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:
\(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,{\rm{ }}n \ne - 1\)
\(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{ - n + 1}}}}{{ - n + 1}} + C,n \ne 1\)
\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\)
\(\int a dx = ax + C\)
- Áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \(4{x^3}\) và \( - \frac{1}{{{x^2}}}\):
\(\int 4 {x^3}dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} = {x^4}\)
\(\int - \frac{1}{{{x^2}}}dx = - \int {{x^{ - 2}}} dx = - \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} = \frac{1}{x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}\) là:
\(F(x) = {x^4} + \frac{1}{x}\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left[ {{x^4} + \frac{1}{x}} \right]_1^2 = \left( {{2^4} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {{1^4} + \frac{1}{1}} \right)\)
\({2^4} = 16,\quad \frac{1}{2} = 0.5,\quad {1^4} = 1,\quad \frac{1}{1} = 1\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = (16 + 0.5) - (1 + 1) = 16.5 - 2 = 14.5\)
b)
Tính nguyên hàm của 5 và \( - 2{e^x}\):
\(\int 5 dx = 5x\)
\(\int - 2{e^x}dx = - 2{e^x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(5 - 2{e^x}\) là:
\(F(x) = 5x - 2{e^x}\)
Tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = \left[ {5x - 2{e^x}} \right]_0^1 = \left( {5 \cdot 1 - 2{e^1}} \right) - \left( {5 \cdot 0 - 2{e^0}} \right)\)
\(5 \cdot 1 = 5,\quad {e^1} = e,\quad 5 \cdot 0 = 0,\quad {e^0} = 1\)
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = (5 - 2e) - (0 - 2) = 5 - 2e + 2 = 7 - 2e\).
HĐ6
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 16 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)} dx\) và \(\int\limits_1^3 {f(x)} dx\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của $f(x) = 2x$:
\(F(x) = \int 2 xdx = {x^2}\)
Tính các tích phân:
\(\int_1^2 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = {2^2} - {1^2} = 4 - 1 = 3\)
\(\int_2^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_3^2 = {\left( 3 \right)^2} - {2^2} = 9 - 4 = 5\)
\(\int_1^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^3 = {3^2} - {1^2} = 9 - 1 = 8\)
So sánh:
\(\int_1^2 2 xdx + \int_2^3 2 xdx = 3 + 5 = 8\)
\(\int_1^2 f (x)dx + \int_2^3 f (x)dx = 8\)
\(\int_1^3 f (x)dx = 8\)
Do đó, hai tích phân này bằng nhau.
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 17 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;5]\) và \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\]. Tính \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Cho \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.\). Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx\] thành hai phần: \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\) và \( - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx\). Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Đối với bài này, ta chia tích phân \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\) thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\). Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng giả thiết\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\):
\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = \int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx + - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
Tính \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\):
\(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 = {5^2} - {( - 1)^2} = 25 - 1 = 24\)
Thay vào phương trình:
\(24 - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 4\)
b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\):
\(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = \int_{ - 2}^{ - 1} f (x)dx + \int_{ - 1}^1 f (x)dx\)
Tính \(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx\):
\(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx = \left. {({x^2} + 3x)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = [{( - 1)^2} + 3( - 1)] - [{( - 2)^2} + 3( - 2)] = - 2 + 2 = 0\)
Tính \(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx\):
\(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {\frac{1}{4} + 2} \right] - \left[ {\frac{1}{4} - 2} \right] = 4\)
Vậy \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = 0 + 4 = 4\).
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 4.7 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).
a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;6]\).
b) Tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.
Phương pháp giải:
a) Dựa trên đồ thị, ta xác định công thức của hàm số \(v(t)\) theo từng đoạn thời gian khác nhau.
b) Để tính quãng đường di chuyển, ta tính diện tích dưới đường cong của đồ thị vận tốc trong khoảng thời gian đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(v(t)\) được chia thành hai đoạn dựa trên đồ thị:
\(v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}t}&{{\rm{khi }}0 \le t \le 2}\\3&{{\rm{khi }}2 < t \le 6}\end{array}} \right.\)
b) Quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên là diện tích dưới đồ thị của hàm \(v(t)\) từ 0 đến 6:
\(S = \int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt + \int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\)
Tính \(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt\):
\(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt = \left. {\frac{3}{4}{t^2}} \right|_0^2 = \frac{3}{4}({2^2}) = 3\)
Tính \(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\):
\(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt = \left. {3t} \right|_2^6 = 3(6 - 2) = 12\)
Vậy tổng quãng đường là:
\(S = 3 + 12 = 15{\mkern 1mu} {\rm{m}}\).
- HĐ4
- LT3
- HĐ5
- LT4
- HĐ6
- LT5
- VD2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt: \(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx\)
- So sánh kết quả của hai tích phân.
Lời giải chi tiết:
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 (2x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 4 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {2{x^2}} \right]_1^2 = 2({2^2}) - 2({1^2}) = 8 - 2 = 6\)
Tính tích phân thứ hai:
\(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 2\int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = 2 \times \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 2 \times ({2^2} - {1^2}) = 2 \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = 6\) và \(2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 6\)
Vậy, hai tích phân này bằng nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\). Tính \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta biết rằng:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Sử dụng giá trị đã cho \(\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14\) để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của \(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\).
Lời giải chi tiết:
Từ tính chất của tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
Theo đề bài, ta biết rằng:
\(3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = 14\)
Chia cả hai vế của phương trình cho 3:
\(\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\), \(g(x) = 5\). Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx\) và \(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx\) và
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Phương pháp giải:
- Tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của \(f(x)\) và \(g(x)\) trên đoạn \([1;2]\).
- Áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx\)
Nguyên hàm của \(2x + 5\) là \({x^2} + 5x + C\):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} + 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 + 10} \right] - \left[ {1 + 5} \right] = 14 - 6 = 8\)
Tính tích phân từng hàm riêng:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 4 - 1 = 3\)
\(\int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 5 {\mkern 1mu} dx = \left[ {5x} \right]_1^2 = 10 - 5 = 5\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = 8\)
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 + 5 = 8\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
b) Tương tự, tính tích phân trong phần b):
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x - 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} - 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 - 10} \right] - \left[ {1 - 5} \right] = - 6 + 4 = - 2\)
So sánh:
\(\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 - 5 = - 2\)
Vậy \(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {(5 - 2{e^x})dx} \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:
\(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,{\rm{ }}n \ne - 1\)
\(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{ - n + 1}}}}{{ - n + 1}} + C,n \ne 1\)
\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\)
\(\int a dx = ax + C\)
- Áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \(4{x^3}\) và \( - \frac{1}{{{x^2}}}\):
\(\int 4 {x^3}dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} = {x^4}\)
\(\int - \frac{1}{{{x^2}}}dx = - \int {{x^{ - 2}}} dx = - \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} = \frac{1}{x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}\) là:
\(F(x) = {x^4} + \frac{1}{x}\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left[ {{x^4} + \frac{1}{x}} \right]_1^2 = \left( {{2^4} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {{1^4} + \frac{1}{1}} \right)\)
\({2^4} = 16,\quad \frac{1}{2} = 0.5,\quad {1^4} = 1,\quad \frac{1}{1} = 1\)
\(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = (16 + 0.5) - (1 + 1) = 16.5 - 2 = 14.5\)
b)
Tính nguyên hàm của 5 và \( - 2{e^x}\):
\(\int 5 dx = 5x\)
\(\int - 2{e^x}dx = - 2{e^x}\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(5 - 2{e^x}\) là:
\(F(x) = 5x - 2{e^x}\)
Tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = \left[ {5x - 2{e^x}} \right]_0^1 = \left( {5 \cdot 1 - 2{e^1}} \right) - \left( {5 \cdot 0 - 2{e^0}} \right)\)
\(5 \cdot 1 = 5,\quad {e^1} = e,\quad 5 \cdot 0 = 0,\quad {e^0} = 1\)
\(\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = (5 - 2e) - (0 - 2) = 5 - 2e + 2 = 7 - 2e\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 16 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(f(x) = 2x\). Tính và so sánh \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)} dx\) và \(\int\limits_1^3 {f(x)} dx\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của $f(x) = 2x$:
\(F(x) = \int 2 xdx = {x^2}\)
Tính các tích phân:
\(\int_1^2 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = {2^2} - {1^2} = 4 - 1 = 3\)
\(\int_2^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_3^2 = {\left( 3 \right)^2} - {2^2} = 9 - 4 = 5\)
\(\int_1^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^3 = {3^2} - {1^2} = 9 - 1 = 8\)
So sánh:
\(\int_1^2 2 xdx + \int_2^3 2 xdx = 3 + 5 = 8\)
\(\int_1^2 f (x)dx + \int_2^3 f (x)dx = 8\)
\(\int_1^3 f (x)dx = 8\)
Do đó, hai tích phân này bằng nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 17 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;5]\) và \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\]. Tính \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Cho \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.\). Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx\] thành hai phần: \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\) và \( - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx\). Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Đối với bài này, ta chia tích phân \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\) thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\). Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng giả thiết\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\):
\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = \int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx + - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
Tính \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\):
\(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 = {5^2} - {( - 1)^2} = 25 - 1 = 24\)
Thay vào phương trình:
\(24 - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 4\)
b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\):
\(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = \int_{ - 2}^{ - 1} f (x)dx + \int_{ - 1}^1 f (x)dx\)
Tính \(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx\):
\(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx = \left. {({x^2} + 3x)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = [{( - 1)^2} + 3( - 1)] - [{( - 2)^2} + 3( - 2)] = - 2 + 2 = 0\)
Tính \(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx\):
\(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {\frac{1}{4} + 2} \right] - \left[ {\frac{1}{4} - 2} \right] = 4\)
Vậy \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = 0 + 4 = 4\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 4.7 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).
a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;6]\).
b) Tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.
Phương pháp giải:
a) Dựa trên đồ thị, ta xác định công thức của hàm số \(v(t)\) theo từng đoạn thời gian khác nhau.
b) Để tính quãng đường di chuyển, ta tính diện tích dưới đường cong của đồ thị vận tốc trong khoảng thời gian đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(v(t)\) được chia thành hai đoạn dựa trên đồ thị:
\(v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}t}&{{\rm{khi }}0 \le t \le 2}\\3&{{\rm{khi }}2 < t \le 6}\end{array}} \right.\)
b) Quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên là diện tích dưới đồ thị của hàm \(v(t)\) từ 0 đến 6:
\(S = \int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt + \int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\)
Tính \(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt\):
\(\int_0^2 {\frac{3}{2}} t{\mkern 1mu} dt = \left. {\frac{3}{4}{t^2}} \right|_0^2 = \frac{3}{4}({2^2}) = 3\)
Tính \(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt\):
\(\int_2^6 3 {\mkern 1mu} dt = \left. {3t} \right|_2^6 = 3(6 - 2) = 12\)
Vậy tổng quãng đường là:
\(S = 3 + 12 = 15{\mkern 1mu} {\rm{m}}\).
Gợi Ý Phương Pháp Tiếp Cận Cho Bài Học Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Với định hướng phát triển năng lực của bộ sách , các bài tập trong phần Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá thường không đơn thuần chỉ là việc áp dụng một công thức cứng nhắc. Môn Toán học Lớp 12 yêu cầu sự tư duy liên kết rất cao. Đối với các câu hỏi lý thuyết, học sinh cần rèn luyện kỹ năng đọc hiểu văn bản, trích xuất từ khóa (keyword) quan trọng để trả lời đúng trọng tâm, tránh lan man. Đối với dạng bài tập tính toán hay suy luận logic, điều quan trọng nhất là phải tóm tắt được đề bài (đề bài cho dữ kiện gì, yêu cầu tìm đại lượng nào), sau đó phác thảo sơ đồ tư duy giải quyết vấn đề trước khi bắt tay vào giải chi tiết. Lời giải được cung cấp trong bài viết này đã tuân thủ chặt chẽ nguyên tắc đó: luôn giải thích lý do tại sao lại sử dụng công thức/phương pháp này để các bạn dễ dàng theo kịp mạch tư duy.
Lưu Ý Quan Trọng Về Cách Trình Bày Bài Tập Môn Toán học
Một bài giải hoàn hảo không chỉ cần đáp số chính xác mà còn phụ thuộc rất lớn vào cách trình bày. Đối với học sinh Lớp 12, việc rèn luyện kỹ năng trình bày khoa học, sạch đẹp là vô cùng cần thiết để ghi trọn vẹn điểm số trong các kỳ thi tự luận. Khi tham khảo lời giải Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá trên website, các bạn hãy chú ý đến cấu trúc của một bài làm chuẩn mực. Nếu là một bài Toán/Lý/Hóa, hãy luôn nhớ ghi công thức tổng quát trước khi thay số, nhớ ghi đơn vị ở đáp số cuối cùng và có câu kết luận (Vậy...). Nếu là bài Văn/Sử/Địa, hãy trình bày thành các đoạn văn rõ ràng, có luận điểm, luận cứ rành mạch. Đừng bao giờ viết tắt những thuật ngữ chuyên ngành không được phép. Việc tuân thủ sự chỉn chu ngay từ khi làm bài tập về nhà sẽ giúp bạn tạo được thiện cảm rất lớn đối với giáo viên chấm bài.
Lời Khuyên Về Khả Năng Tự Nghiên Cứu Và Tham Khảo Khách Quan
Chúng tôi tạo ra chuyên trang lời giải sách môn Toán học với mong muốn mang đến một "gia sư ảo" (virtual tutor) miễn phí, giúp các bạn học sinh tháo gỡ những khúc mắc ngoài giờ lên lớp. Tuy nhiên, kiến thức luôn mang tính đa chiều, đặc biệt đối với các câu hỏi mở, câu hỏi vận dụng sáng tạo (VDC) trong SGK. Đáp án mà chúng tôi đưa ra trong bài Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá được xem là phương án tham khảo chuẩn mực và logic nhất, nhưng không phải là duy nhất. Chúng tôi luôn khuyến khích các bạn phát huy tư duy phản biện (Critical Thinking). Nếu bạn tìm ra một cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn, hoặc có một góc nhìn lập luận sắc bén hơn so với bài giải mẫu, hãy mạnh dạn chia sẻ nó trong phần Bình luận (Comment) ở phía dưới trang. Điều đó chứng tỏ bạn đã thực sự thấu hiểu và làm chủ được môn học này.
Góc Thảo Luận Và Hỗ Trợ Chuyên Môn Trực Tuyến
Quá trình tự học môn Toán học lớp 12 đôi khi sẽ khiến bạn cảm thấy đơn độc và bế tắc khi đối mặt với một vấn đề quá hóc búa. Đừng lo lắng! Chuyên mục hướng dẫn giải bài Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá của chúng tôi được thiết kế đi kèm với hệ thống hỏi đáp tương tác trực tiếp. Nếu trong quá trình đối chiếu bài giải mà bạn phát hiện ra một dấu phép tính bị sai sót do lỗi đánh máy, hoặc có một bước biến đổi công thức nào đó quá tắt khiến bạn không hiểu được, xin vui lòng để lại ý kiến ngay lập tức. Đội ngũ giáo viên và các kiểm duyệt viên học thuật của website sẽ thường xuyên theo dõi các câu hỏi của học sinh để giải đáp, giải thích lại cặn kẽ (reply) trong thời gian sớm nhất, đảm bảo luồng kiến thức bạn tiếp nhận luôn được thông suốt và chính xác tuyệt đối.