Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Lời Giải Chi Tiết: Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bạn đang theo dõi bài viết hướng dẫn chi tiết Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá thuộc chương trình môn Toán học Lớp 12 của bộ sách . Để hoàn thành tốt bài học này, học sinh cần nắm vững các lý thuyết trọng tâm đã được thầy cô giảng dạy trên lớp, từ đó vận dụng linh hoạt vào việc phân tích và giải quyết các câu hỏi, bài tập thực hành. Bài viết dưới đây được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày tuần tự và rõ ràng lời giải cho từng mục trong SGK (bao gồm cả các câu hỏi thảo luận Khởi động/Khám phá lẫn bài tập tự luận cuối bài). Hãy đọc kỹ từng bước hướng dẫn (step-by-step) để hiểu rõ bản chất vấn đề thay vì chỉ sao chép kết quả cuối cùng nhé.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này? b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M? c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
LT7
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').
Phương pháp giải:
a)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.
b)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.
- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.
Lời giải chi tiết:
a)
Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).
Vector \(\overrightarrow {AB} = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).
Vector \(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (9,13,7)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.
b)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:
\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)
hay rút gọn lại là:
\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)
HĐ6
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
LT8
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
LT9
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(A( - 3;2; - 1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P):2x - y + 3z - 1 = 0\), \((Q):x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Phương pháp giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\).
- Sau khi có vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\), sử dụng điểm \(A( - 3;2; - 1)\) để lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 2).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \), do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} \times \overrightarrow {{n_Q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&{ - 1}&3\\1&2&{ - 2}\end{array}} \right| = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\)
Tính các định thức con:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\bf{i}} \cdot (( - 1)( - 2) - (3)(2)) - {\bf{j}} \cdot ((2)( - 2) - (3)(1)) + {\bf{k}} \cdot ((2)(2) - ( - 1)(1))\)
\( = {\bf{i}} \cdot (2 - 6) - {\bf{j}} \cdot ( - 4 - 3) + {\bf{k}} \cdot (4 + 1)\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4) - {\bf{j}} \cdot ( - 7) + {\bf{k}} \cdot (5)\)
\( = ( - 4;7;5).\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;7;5)\).
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
- Ta thế tọa độ điểm \(A( - 3;2; - 1)\) vào phương trình:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
Mở rộng phương trình:
\( - 4x - 12 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0\)
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
HĐ7
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 5.12).
a) Có nhận xét gì về góc giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\)?
b) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau thì \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và.
Lời giải chi tiết:
a)
Khi hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng \({90^\circ }\).
Do đó, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau.
Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \):
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0.\)
Kết luận: Khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\), thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
b)
Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau, tức là \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\), thì hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau vì:
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right)//\overrightarrow {{n_2}} \)
Mà
\(\left( {{\alpha _2}} \right) \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\).
- HĐ6
- LT7
- HĐ7
- LT8
- LT9
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').
Phương pháp giải:
a)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.
b)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.
- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.
Lời giải chi tiết:
a)
Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).
Vector \(\overrightarrow {AB} = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).
Vector \(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (9,13,7)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.
b)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}} = ( - 9, - 13, - 7)\).
Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:
\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)
hay rút gọn lại là:
\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 5.12).
a) Có nhận xét gì về góc giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\)?
b) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau thì \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có vuông góc với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và.
Lời giải chi tiết:
a)
Khi hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng \({90^\circ }\).
Do đó, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau.
Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \):
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0.\)
Kết luận: Khi \(({\alpha _1}) \bot ({\alpha _2})\), thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
b)
Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau, tức là \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\), thì hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) cũng sẽ vuông góc với nhau vì:
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right)//\overrightarrow {{n_2}} \)
Mà
\(\left( {{\alpha _2}} \right) \bot \overrightarrow {{n_2}} \to \left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(A( - 3;2; - 1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P):2x - y + 3z - 1 = 0\), \((Q):x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Phương pháp giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\).
- Sau khi có vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\), sử dụng điểm \(A( - 3;2; - 1)\) để lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 2).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) phải vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \), do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} \times \overrightarrow {{n_Q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&{ - 1}&3\\1&2&{ - 2}\end{array}} \right| = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|\)
Tính các định thức con:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\bf{i}} \cdot (( - 1)( - 2) - (3)(2)) - {\bf{j}} \cdot ((2)( - 2) - (3)(1)) + {\bf{k}} \cdot ((2)(2) - ( - 1)(1))\)
\( = {\bf{i}} \cdot (2 - 6) - {\bf{j}} \cdot ( - 4 - 3) + {\bf{k}} \cdot (4 + 1)\)
\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4) - {\bf{j}} \cdot ( - 7) + {\bf{k}} \cdot (5)\)
\( = ( - 4;7;5).\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;7;5)\).
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
- Ta thế tọa độ điểm \(A( - 3;2; - 1)\) vào phương trình:
\( - 4(x + 3) + 7(y - 2) + 5(z + 1) = 0.\)
Mở rộng phương trình:
\( - 4x - 12 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0\)
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 4x + 7y + 5z - 21 = 0.\)
Gợi Ý Phương Pháp Tiếp Cận Cho Bài Học Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Với định hướng phát triển năng lực của bộ sách , các bài tập trong phần Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá thường không đơn thuần chỉ là việc áp dụng một công thức cứng nhắc. Môn Toán học Lớp 12 yêu cầu sự tư duy liên kết rất cao. Đối với các câu hỏi lý thuyết, học sinh cần rèn luyện kỹ năng đọc hiểu văn bản, trích xuất từ khóa (keyword) quan trọng để trả lời đúng trọng tâm, tránh lan man. Đối với dạng bài tập tính toán hay suy luận logic, điều quan trọng nhất là phải tóm tắt được đề bài (đề bài cho dữ kiện gì, yêu cầu tìm đại lượng nào), sau đó phác thảo sơ đồ tư duy giải quyết vấn đề trước khi bắt tay vào giải chi tiết. Lời giải được cung cấp trong bài viết này đã tuân thủ chặt chẽ nguyên tắc đó: luôn giải thích lý do tại sao lại sử dụng công thức/phương pháp này để các bạn dễ dàng theo kịp mạch tư duy.
Lưu Ý Quan Trọng Về Cách Trình Bày Bài Tập Môn Toán học
Một bài giải hoàn hảo không chỉ cần đáp số chính xác mà còn phụ thuộc rất lớn vào cách trình bày. Đối với học sinh Lớp 12, việc rèn luyện kỹ năng trình bày khoa học, sạch đẹp là vô cùng cần thiết để ghi trọn vẹn điểm số trong các kỳ thi tự luận. Khi tham khảo lời giải Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá trên website, các bạn hãy chú ý đến cấu trúc của một bài làm chuẩn mực. Nếu là một bài Toán/Lý/Hóa, hãy luôn nhớ ghi công thức tổng quát trước khi thay số, nhớ ghi đơn vị ở đáp số cuối cùng và có câu kết luận (Vậy...). Nếu là bài Văn/Sử/Địa, hãy trình bày thành các đoạn văn rõ ràng, có luận điểm, luận cứ rành mạch. Đừng bao giờ viết tắt những thuật ngữ chuyên ngành không được phép. Việc tuân thủ sự chỉn chu ngay từ khi làm bài tập về nhà sẽ giúp bạn tạo được thiện cảm rất lớn đối với giáo viên chấm bài.
Lời Khuyên Về Khả Năng Tự Nghiên Cứu Và Tham Khảo Khách Quan
Chúng tôi tạo ra chuyên trang lời giải sách môn Toán học với mong muốn mang đến một "gia sư ảo" (virtual tutor) miễn phí, giúp các bạn học sinh tháo gỡ những khúc mắc ngoài giờ lên lớp. Tuy nhiên, kiến thức luôn mang tính đa chiều, đặc biệt đối với các câu hỏi mở, câu hỏi vận dụng sáng tạo (VDC) trong SGK. Đáp án mà chúng tôi đưa ra trong bài Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá được xem là phương án tham khảo chuẩn mực và logic nhất, nhưng không phải là duy nhất. Chúng tôi luôn khuyến khích các bạn phát huy tư duy phản biện (Critical Thinking). Nếu bạn tìm ra một cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn, hoặc có một góc nhìn lập luận sắc bén hơn so với bài giải mẫu, hãy mạnh dạn chia sẻ nó trong phần Bình luận (Comment) ở phía dưới trang. Điều đó chứng tỏ bạn đã thực sự thấu hiểu và làm chủ được môn học này.
Góc Thảo Luận Và Hỗ Trợ Chuyên Môn Trực Tuyến
Quá trình tự học môn Toán học lớp 12 đôi khi sẽ khiến bạn cảm thấy đơn độc và bế tắc khi đối mặt với một vấn đề quá hóc búa. Đừng lo lắng! Chuyên mục hướng dẫn giải bài Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá của chúng tôi được thiết kế đi kèm với hệ thống hỏi đáp tương tác trực tiếp. Nếu trong quá trình đối chiếu bài giải mà bạn phát hiện ra một dấu phép tính bị sai sót do lỗi đánh máy, hoặc có một bước biến đổi công thức nào đó quá tắt khiến bạn không hiểu được, xin vui lòng để lại ý kiến ngay lập tức. Đội ngũ giáo viên và các kiểm duyệt viên học thuật của website sẽ thường xuyên theo dõi các câu hỏi của học sinh để giải đáp, giải thích lại cặn kẽ (reply) trong thời gian sớm nhất, đảm bảo luồng kiến thức bạn tiếp nhận luôn được thông suốt và chính xác tuyệt đối.