Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Lời Giải Chi Tiết: Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bạn đang theo dõi bài viết hướng dẫn chi tiết Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình môn Toán học Lớp 12 của bộ sách . Để hoàn thành tốt bài học này, học sinh cần nắm vững các lý thuyết trọng tâm đã được thầy cô giảng dạy trên lớp, từ đó vận dụng linh hoạt vào việc phân tích và giải quyết các câu hỏi, bài tập thực hành. Bài viết dưới đây được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày tuần tự và rõ ràng lời giải cho từng mục trong SGK (bao gồm cả các câu hỏi thảo luận Khởi động/Khám phá lẫn bài tập tự luận cuối bài). Hãy đọc kỹ từng bước hướng dẫn (step-by-step) để hiểu rõ bản chất vấn đề thay vì chỉ sao chép kết quả cuối cùng nhé.
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + 4z - 12 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 = - 5 \ne 0\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).
Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.
a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).
b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)
b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\).
Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
HĐ5
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)
a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .
Lời giải chi tiết:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).
HĐ6
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 37 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).
a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
TH4
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;2; - 1} \right)\), \(\vec v = \left( {3;1;0} \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\).
d) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right]\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
c) Xác định một cặp vectơ chỉ phương, từ đó tính tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương đó để tìm một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
d) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
VD3
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\). Biết \(O\) là gốc toạ độ, \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\). Viết phương trình các mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) dưới dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) do nó đi qua điểm \(O'\) và có một vectơ pháp tuyến \(OO'\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {7;5;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \) theo \(x,y,z\).
Phương pháp giải:
Tính toạ độ vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \), sau đó tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\)
Suy ra \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 7x + 5y + 2z - 23\)
- HĐ3
- TH3
- HĐ4
- HĐ5
- HĐ6
- TH4
- VD3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {7;5;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \) theo \(x,y,z\).
Phương pháp giải:
Tính toạ độ vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \), sau đó tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\)
Suy ra \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 7x + 5y + 2z - 23\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + 4z - 12 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 = - 5 \ne 0\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).
Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.
a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).
b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)
b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\).
Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)
a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .
Lời giải chi tiết:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 37 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).
a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;2; - 1} \right)\), \(\vec v = \left( {3;1;0} \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\).
d) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right]\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
c) Xác định một cặp vectơ chỉ phương, từ đó tính tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương đó để tìm một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
d) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\). Biết \(O\) là gốc toạ độ, \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\). Viết phương trình các mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) dưới dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) do nó đi qua điểm \(O'\) và có một vectơ pháp tuyến \(OO'\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
Gợi Ý Phương Pháp Tiếp Cận Cho Bài Học Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Với định hướng phát triển năng lực của bộ sách , các bài tập trong phần Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo thường không đơn thuần chỉ là việc áp dụng một công thức cứng nhắc. Môn Toán học Lớp 12 yêu cầu sự tư duy liên kết rất cao. Đối với các câu hỏi lý thuyết, học sinh cần rèn luyện kỹ năng đọc hiểu văn bản, trích xuất từ khóa (keyword) quan trọng để trả lời đúng trọng tâm, tránh lan man. Đối với dạng bài tập tính toán hay suy luận logic, điều quan trọng nhất là phải tóm tắt được đề bài (đề bài cho dữ kiện gì, yêu cầu tìm đại lượng nào), sau đó phác thảo sơ đồ tư duy giải quyết vấn đề trước khi bắt tay vào giải chi tiết. Lời giải được cung cấp trong bài viết này đã tuân thủ chặt chẽ nguyên tắc đó: luôn giải thích lý do tại sao lại sử dụng công thức/phương pháp này để các bạn dễ dàng theo kịp mạch tư duy.
Lưu Ý Quan Trọng Về Cách Trình Bày Bài Tập Môn Toán học
Một bài giải hoàn hảo không chỉ cần đáp số chính xác mà còn phụ thuộc rất lớn vào cách trình bày. Đối với học sinh Lớp 12, việc rèn luyện kỹ năng trình bày khoa học, sạch đẹp là vô cùng cần thiết để ghi trọn vẹn điểm số trong các kỳ thi tự luận. Khi tham khảo lời giải Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo trên website, các bạn hãy chú ý đến cấu trúc của một bài làm chuẩn mực. Nếu là một bài Toán/Lý/Hóa, hãy luôn nhớ ghi công thức tổng quát trước khi thay số, nhớ ghi đơn vị ở đáp số cuối cùng và có câu kết luận (Vậy...). Nếu là bài Văn/Sử/Địa, hãy trình bày thành các đoạn văn rõ ràng, có luận điểm, luận cứ rành mạch. Đừng bao giờ viết tắt những thuật ngữ chuyên ngành không được phép. Việc tuân thủ sự chỉn chu ngay từ khi làm bài tập về nhà sẽ giúp bạn tạo được thiện cảm rất lớn đối với giáo viên chấm bài.
Lời Khuyên Về Khả Năng Tự Nghiên Cứu Và Tham Khảo Khách Quan
Chúng tôi tạo ra chuyên trang lời giải sách môn Toán học với mong muốn mang đến một "gia sư ảo" (virtual tutor) miễn phí, giúp các bạn học sinh tháo gỡ những khúc mắc ngoài giờ lên lớp. Tuy nhiên, kiến thức luôn mang tính đa chiều, đặc biệt đối với các câu hỏi mở, câu hỏi vận dụng sáng tạo (VDC) trong SGK. Đáp án mà chúng tôi đưa ra trong bài Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo được xem là phương án tham khảo chuẩn mực và logic nhất, nhưng không phải là duy nhất. Chúng tôi luôn khuyến khích các bạn phát huy tư duy phản biện (Critical Thinking). Nếu bạn tìm ra một cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn, hoặc có một góc nhìn lập luận sắc bén hơn so với bài giải mẫu, hãy mạnh dạn chia sẻ nó trong phần Bình luận (Comment) ở phía dưới trang. Điều đó chứng tỏ bạn đã thực sự thấu hiểu và làm chủ được môn học này.
Góc Thảo Luận Và Hỗ Trợ Chuyên Môn Trực Tuyến
Quá trình tự học môn Toán học lớp 12 đôi khi sẽ khiến bạn cảm thấy đơn độc và bế tắc khi đối mặt với một vấn đề quá hóc búa. Đừng lo lắng! Chuyên mục hướng dẫn giải bài Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo của chúng tôi được thiết kế đi kèm với hệ thống hỏi đáp tương tác trực tiếp. Nếu trong quá trình đối chiếu bài giải mà bạn phát hiện ra một dấu phép tính bị sai sót do lỗi đánh máy, hoặc có một bước biến đổi công thức nào đó quá tắt khiến bạn không hiểu được, xin vui lòng để lại ý kiến ngay lập tức. Đội ngũ giáo viên và các kiểm duyệt viên học thuật của website sẽ thường xuyên theo dõi các câu hỏi của học sinh để giải đáp, giải thích lại cặn kẽ (reply) trong thời gian sớm nhất, đảm bảo luồng kiến thức bạn tiếp nhận luôn được thông suốt và chính xác tuyệt đối.