Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Lời Giải Chi Tiết: Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bạn đang theo dõi bài viết hướng dẫn chi tiết Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình môn Toán học Lớp 12 của bộ sách . Để hoàn thành tốt bài học này, học sinh cần nắm vững các lý thuyết trọng tâm đã được thầy cô giảng dạy trên lớp, từ đó vận dụng linh hoạt vào việc phân tích và giải quyết các câu hỏi, bài tập thực hành. Bài viết dưới đây được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày tuần tự và rõ ràng lời giải cho từng mục trong SGK (bao gồm cả các câu hỏi thảo luận Khởi động/Khám phá lẫn bài tập tự luận cuối bài). Hãy đọc kỹ từng bước hướng dẫn (step-by-step) để hiểu rõ bản chất vấn đề thay vì chỉ sao chép kết quả cuối cùng nhé.
Tính chất của tích phân
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 17 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} \)
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} \)
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) để tính các tích phân.
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx} = 4\left. {\left( {\frac{{{x^8}}}{8}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 4\left[ {\frac{{{1^8}}}{8} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{8}} \right] = 0\).
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} = \frac{{ - 3}}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left( {\ln \left| { - 1} \right| - \ln \left| { - 2} \right|} \right) = \frac{{3\ln 2}}{{10}}\)
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{{5^x}}}{{2.5}}dx} = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}dx} = \frac{1}{{10}}.\left. {\left( {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{{5^2}}}{{\ln 5}} - \frac{{{5^0}}}{{\ln 5}}} \right) = \frac{{12}}{{5\ln 5}}\)
KP3
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5}\). Từ đó, tính \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx} \).
b) Tính \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx\).
c) Có nhận xét gì về giá trị của \(I\) và \(6J\)?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức nguyên hàm để tính \(\int {f\left( x \right)dx} \). Chọn hàm \(F\left( x \right)\), sau đó áp dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
c) So sánh \(I\) và \(6J\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {6{x^5}dx} = 6.\frac{{{x^6}}}{6} + C = {x^6} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = {x^6}\), khi đó \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx} = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = {2^6} - {0^6} = 64\).
b) \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^6 = \frac{{{2^6}}}{6} - \frac{{{0^6}}}{6} = \frac{{32}}{3}\).
c) Ta thấy rằng \(6J = 6.\frac{{32}}{3} = 64 = I\).
KP4
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 17 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}\). Từ đó, tính \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} \).
b) Tính \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)
c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
Phương pháp giải:
a) Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \), sau đó sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
c) So sánh kết quả hai câu trên và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\).
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
b) Ta có \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).
TH4
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \)
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tích phân của một tổng, một hiệu để đưa về tính các tích phân đơn giản.
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {{x^{ - 2}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 - \left. {\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right)} \right|_1^2\)
\( = \left( {\ln 2 - \ln 1} \right) - \left( {\frac{{{2^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{1^{ - 1}}}}{-1}} \right) = \ln 2 - \frac{1}{2}\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {1 + 1 - \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^\pi {dx} - \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \)
\( = 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^\pi - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\left( {\pi - 0} \right) - \left( {\sin \pi - \sin 0} \right) = 2\pi \)
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4x - {x^2}} \right]dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} - 4x + 4 + 4x - {x^2}} \right)dx} } \)
\( = \int\limits_{ - 2}^1 {4dx} = \left. {4x} \right|_{ - 2}^1 = 4.1 - 4\left( { - 2} \right) = 12\)
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Thực hành
Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm \(P'\left( x \right)\) gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức \(P'\left( x \right) = 16 - 0,02x\) với \(0 \le x \le 100\). Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Phương pháp giải:
Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)dx} \).
Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) = - 25\). Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm là P(90).
Lời giải chi tiết:
Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán được x tấn sản phẩm là:
\(P(x) = \int {P'(x)dx} = \int {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} = 16x - 0,01{x^2} + C\) (triệu đồng).
Vì khi không bán được sản phẩm nào thì nhà máy lỗ 25 triệu đồng nên:
\(P(0) = - 25 \Leftrightarrow 16.0 - 0,{01.0^2} + C = - 25 \Leftrightarrow C = - 25\).
Vậy \(P(x) = 16x - 0,01{x^2} - 25\) (triệu đồng).
Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán được 90 tấn sản phẩm là:
\(P(90) = 16.90 - 0,{01.90^2} - 25 = 1334\) (triệu đồng).
KP5
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\). Tính và so sánh kết quả:
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tích phân để tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh kết quả.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {2xdx} = 2\int\limits_0^2 {xdx} = 2\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 4\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} = 2\left( {\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^2 {xdx} } \right) = 2\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right]\)\( = 2\left[ {\left( {\frac{{{1^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)} \right] = 4\)
Vậy \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
TH5
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 19 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).
b) Ta có \(\left| {x - 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)}\\{1 - x{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)}\end{array}} \right.\). Từ đó ta có \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)
c) Ta có \(\left| {\cos x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x{\rm{ }}\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)}\\{ - \cos x{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)}\end{array}} \right.\).
Từ đó ta có \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
\( = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} - 5\int\limits_{ - 1}^1 {dx} = \left. {\left( {{x^4}} \right)} \right|_{ - 1}^1 - 5\left. {\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {{1^4} - {{\left( { - 1} \right)}^4}} \right] - 5\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right] = - 10\)
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3\)
\( = \left[ {\left( {1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) - \left( {0 - \frac{{{0^2}}}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{3^2}}}{2} - 3} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1} \right)} \right] = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( { - \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx} = \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)
\( = \left( {\sin \frac{\pi }{2} - \sin 0} \right) - \left( {\sin \pi - \sin \frac{\pi }{2}} \right) = 2\)
VD3
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 19 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Biết rằng tốc độ \(v\) (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian \(t\) (phút) như sau: \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,5t{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\{{\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {2 \le t < 15} \right)}\\{4 - 0,2t{\rm{ }}\left( {15 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\). Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.
Phương pháp giải:
Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) của tích phân để tính \(\int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(s\left( t \right)\) (km) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} + \int\limits_2^{15} {v\left( t \right)dt} + \int\limits_{15}^{20} {v\left( t \right)dt} \)
\( = \int\limits_0^2 {0,5tdt} + \int\limits_2^{15} {dt} + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0,2t} \right)dt} = 0,5\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( t \right)} \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0,1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}\)
\(0,5\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {15 - 2} \right) + \left[ {\left( {4.20 - 0,{{1.20}^2}} \right) - \left( {4.15 - 0,{{1.15}^2}} \right)} \right] = 16,5\) (km)
- KP3
- TH3
- KP4
- TH4
- VD2
- KP5
- TH5
- VD3
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5}\). Từ đó, tính \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx} \).
b) Tính \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx\).
c) Có nhận xét gì về giá trị của \(I\) và \(6J\)?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức nguyên hàm để tính \(\int {f\left( x \right)dx} \). Chọn hàm \(F\left( x \right)\), sau đó áp dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
c) So sánh \(I\) và \(6J\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {6{x^5}dx} = 6.\frac{{{x^6}}}{6} + C = {x^6} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = {x^6}\), khi đó \(I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx} = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = {2^6} - {0^6} = 64\).
b) \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^6 = \frac{{{2^6}}}{6} - \frac{{{0^6}}}{6} = \frac{{32}}{3}\).
c) Ta thấy rằng \(6J = 6.\frac{{32}}{3} = 64 = I\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 17 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} \)
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} \)
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) để tính các tích phân.
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx} = 4\left. {\left( {\frac{{{x^8}}}{8}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 4\left[ {\frac{{{1^8}}}{8} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{8}} \right] = 0\).
b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} = \frac{{ - 3}}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = \frac{{ - 3}}{{10}}\left( {\ln \left| { - 1} \right| - \ln \left| { - 2} \right|} \right) = \frac{{3\ln 2}}{{10}}\)
c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{{5^x}}}{{2.5}}dx} = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}dx} = \frac{1}{{10}}.\left. {\left( {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{{5^2}}}{{\ln 5}} - \frac{{{5^0}}}{{\ln 5}}} \right) = \frac{{12}}{{5\ln 5}}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 17 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}\). Từ đó, tính \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} \).
b) Tính \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)
c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
Phương pháp giải:
a) Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \), sau đó sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
c) So sánh kết quả hai câu trên và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\).
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
b) Ta có \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \)
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tích phân của một tổng, một hiệu để đưa về tính các tích phân đơn giản.
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - \int\limits_1^2 {{x^{ - 2}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 - \left. {\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right)} \right|_1^2\)
\( = \left( {\ln 2 - \ln 1} \right) - \left( {\frac{{{2^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{1^{ - 1}}}}{-1}} \right) = \ln 2 - \frac{1}{2}\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {1 + 1 - \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^\pi {dx} - \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \)
\( = 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^\pi - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\left( {\pi - 0} \right) - \left( {\sin \pi - \sin 0} \right) = 2\pi \)
c) \(\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4x - {x^2}} \right]dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} - 4x + 4 + 4x - {x^2}} \right)dx} } \)
\( = \int\limits_{ - 2}^1 {4dx} = \left. {4x} \right|_{ - 2}^1 = 4.1 - 4\left( { - 2} \right) = 12\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Thực hành
Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm \(P'\left( x \right)\) gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức \(P'\left( x \right) = 16 - 0,02x\) với \(0 \le x \le 100\). Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Phương pháp giải:
Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)dx} \).
Do nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần, nên ta có \(P\left( 0 \right) = - 25\). Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm là P(90).
Lời giải chi tiết:
Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán được x tấn sản phẩm là:
\(P(x) = \int {P'(x)dx} = \int {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} = 16x - 0,01{x^2} + C\) (triệu đồng).
Vì khi không bán được sản phẩm nào thì nhà máy lỗ 25 triệu đồng nên:
\(P(0) = - 25 \Leftrightarrow 16.0 - 0,{01.0^2} + C = - 25 \Leftrightarrow C = - 25\).
Vậy \(P(x) = 16x - 0,01{x^2} - 25\) (triệu đồng).
Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán được 90 tấn sản phẩm là:
\(P(90) = 16.90 - 0,{01.90^2} - 25 = 1334\) (triệu đồng).
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\). Tính và so sánh kết quả:
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tích phân để tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh kết quả.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {2xdx} = 2\int\limits_0^2 {xdx} = 2\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = 4\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} = 2\left( {\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^2 {xdx} } \right) = 2\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right]\)\( = 2\left[ {\left( {\frac{{{1^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)} \right] = 4\)
Vậy \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 19 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).
b) Ta có \(\left| {x - 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)}\\{1 - x{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)}\end{array}} \right.\). Từ đó ta có \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)
c) Ta có \(\left| {\cos x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x{\rm{ }}\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)}\\{ - \cos x{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)}\end{array}} \right.\).
Từ đó ta có \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx} \)
\( = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} - 5\int\limits_{ - 1}^1 {dx} = \left. {\left( {{x^4}} \right)} \right|_{ - 1}^1 - 5\left. {\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {{1^4} - {{\left( { - 1} \right)}^4}} \right] - 5\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right] = - 10\)
b) \(\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3\)
\( = \left[ {\left( {1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) - \left( {0 - \frac{{{0^2}}}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{3^2}}}{2} - 3} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1} \right)} \right] = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
c) \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( { - \cos x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx} = \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)
\( = \left( {\sin \frac{\pi }{2} - \sin 0} \right) - \left( {\sin \pi - \sin \frac{\pi }{2}} \right) = 2\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 19 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Biết rằng tốc độ \(v\) (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian \(t\) (phút) như sau: \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,5t{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\{{\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {2 \le t < 15} \right)}\\{4 - 0,2t{\rm{ }}\left( {15 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\). Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.
Phương pháp giải:
Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) của tích phân để tính \(\int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(s\left( t \right)\) (km) là quãng đường ca nô đi được đến thời điểm \(t\) (phút).
Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là \(s\left( {20} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{20} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} + \int\limits_2^{15} {v\left( t \right)dt} + \int\limits_{15}^{20} {v\left( t \right)dt} \)
\( = \int\limits_0^2 {0,5tdt} + \int\limits_2^{15} {dt} + \int\limits_{15}^{20} {\left( {4 - 0,2t} \right)dt} = 0,5\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( t \right)} \right|_2^{15} + \left. {\left( {4t - 0,1{t^2}} \right)} \right|_{15}^{20}\)
\(0,5\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) + \left( {15 - 2} \right) + \left[ {\left( {4.20 - 0,{{1.20}^2}} \right) - \left( {4.15 - 0,{{1.15}^2}} \right)} \right] = 16,5\) (km)
Gợi Ý Phương Pháp Tiếp Cận Cho Bài Học Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Với định hướng phát triển năng lực của bộ sách , các bài tập trong phần Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo thường không đơn thuần chỉ là việc áp dụng một công thức cứng nhắc. Môn Toán học Lớp 12 yêu cầu sự tư duy liên kết rất cao. Đối với các câu hỏi lý thuyết, học sinh cần rèn luyện kỹ năng đọc hiểu văn bản, trích xuất từ khóa (keyword) quan trọng để trả lời đúng trọng tâm, tránh lan man. Đối với dạng bài tập tính toán hay suy luận logic, điều quan trọng nhất là phải tóm tắt được đề bài (đề bài cho dữ kiện gì, yêu cầu tìm đại lượng nào), sau đó phác thảo sơ đồ tư duy giải quyết vấn đề trước khi bắt tay vào giải chi tiết. Lời giải được cung cấp trong bài viết này đã tuân thủ chặt chẽ nguyên tắc đó: luôn giải thích lý do tại sao lại sử dụng công thức/phương pháp này để các bạn dễ dàng theo kịp mạch tư duy.
Lưu Ý Quan Trọng Về Cách Trình Bày Bài Tập Môn Toán học
Một bài giải hoàn hảo không chỉ cần đáp số chính xác mà còn phụ thuộc rất lớn vào cách trình bày. Đối với học sinh Lớp 12, việc rèn luyện kỹ năng trình bày khoa học, sạch đẹp là vô cùng cần thiết để ghi trọn vẹn điểm số trong các kỳ thi tự luận. Khi tham khảo lời giải Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo trên website, các bạn hãy chú ý đến cấu trúc của một bài làm chuẩn mực. Nếu là một bài Toán/Lý/Hóa, hãy luôn nhớ ghi công thức tổng quát trước khi thay số, nhớ ghi đơn vị ở đáp số cuối cùng và có câu kết luận (Vậy...). Nếu là bài Văn/Sử/Địa, hãy trình bày thành các đoạn văn rõ ràng, có luận điểm, luận cứ rành mạch. Đừng bao giờ viết tắt những thuật ngữ chuyên ngành không được phép. Việc tuân thủ sự chỉn chu ngay từ khi làm bài tập về nhà sẽ giúp bạn tạo được thiện cảm rất lớn đối với giáo viên chấm bài.
Lời Khuyên Về Khả Năng Tự Nghiên Cứu Và Tham Khảo Khách Quan
Chúng tôi tạo ra chuyên trang lời giải sách môn Toán học với mong muốn mang đến một "gia sư ảo" (virtual tutor) miễn phí, giúp các bạn học sinh tháo gỡ những khúc mắc ngoài giờ lên lớp. Tuy nhiên, kiến thức luôn mang tính đa chiều, đặc biệt đối với các câu hỏi mở, câu hỏi vận dụng sáng tạo (VDC) trong SGK. Đáp án mà chúng tôi đưa ra trong bài Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo được xem là phương án tham khảo chuẩn mực và logic nhất, nhưng không phải là duy nhất. Chúng tôi luôn khuyến khích các bạn phát huy tư duy phản biện (Critical Thinking). Nếu bạn tìm ra một cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn, hoặc có một góc nhìn lập luận sắc bén hơn so với bài giải mẫu, hãy mạnh dạn chia sẻ nó trong phần Bình luận (Comment) ở phía dưới trang. Điều đó chứng tỏ bạn đã thực sự thấu hiểu và làm chủ được môn học này.
Góc Thảo Luận Và Hỗ Trợ Chuyên Môn Trực Tuyến
Quá trình tự học môn Toán học lớp 12 đôi khi sẽ khiến bạn cảm thấy đơn độc và bế tắc khi đối mặt với một vấn đề quá hóc búa. Đừng lo lắng! Chuyên mục hướng dẫn giải bài Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo của chúng tôi được thiết kế đi kèm với hệ thống hỏi đáp tương tác trực tiếp. Nếu trong quá trình đối chiếu bài giải mà bạn phát hiện ra một dấu phép tính bị sai sót do lỗi đánh máy, hoặc có một bước biến đổi công thức nào đó quá tắt khiến bạn không hiểu được, xin vui lòng để lại ý kiến ngay lập tức. Đội ngũ giáo viên và các kiểm duyệt viên học thuật của website sẽ thường xuyên theo dõi các câu hỏi của học sinh để giải đáp, giải thích lại cặn kẽ (reply) trong thời gian sớm nhất, đảm bảo luồng kiến thức bạn tiếp nhận luôn được thông suốt và chính xác tuyệt đối.