Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Lời Giải Chi Tiết: Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Bạn đang theo dõi bài viết hướng dẫn chi tiết Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình môn Toán học Lớp 12 của bộ sách . Để hoàn thành tốt bài học này, học sinh cần nắm vững các lý thuyết trọng tâm đã được thầy cô giảng dạy trên lớp, từ đó vận dụng linh hoạt vào việc phân tích và giải quyết các câu hỏi, bài tập thực hành. Bài viết dưới đây được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày tuần tự và rõ ràng lời giải cho từng mục trong SGK (bao gồm cả các câu hỏi thảo luận Khởi động/Khám phá lẫn bài tập tự luận cuối bài). Hãy đọc kỹ từng bước hướng dẫn (step-by-step) để hiểu rõ bản chất vấn đề thay vì chỉ sao chép kết quả cuối cùng nhé.
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (F = x + 2y) với (left( {x;y} right)) là nghiệm của hệ bất phương trình (left{ begin{array}{l}x - 2y + 4 ge 0x + y - 5 le 0x ge 0y ge 0end{array} right.) (I) Miền nghiệm ({Omega }) của hệ (I) là miền tứ giác (OABC) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị (F) cho trước, xét đường thẳng (d:x + 2y - F = 0) hay (y = - frac{x}{2} + frac{F}{2}). Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán tr
Vận dụng
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
\(F = 3x + 3y \to \max ,\min \)
có tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\) (được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là \(A\left( {0;5} \right),\)\(B\left( {4;1} \right),C\left( {2;1} \right)\) và \(D\left( {0;2} \right)\).
a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.
b) Hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại bao nhiêu điểm? Giải thích.
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;F\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;F\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;F\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;5} \right) = F\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;2} \right) = 6\).
b) Tại mọi điểm \(\left( {x;y} \right)\) trên cạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\), ta luôn có \(x + y - 5 = 0\) hay \(x + y = 5\).
Do đó \(F = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15\).
Vậy hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại mọi điểm thuộc ạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\).
Hoạt động 2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 8 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 2x + y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\) (II)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\) gọi là các đỉnh của \({\Omega }\).
Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:2x + y = F\) hay \(d:y = - 2x + F\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Tìm giá trị của \(F\) để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\). Gọi giá trị tìm được là \({F_A}\).
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) trên \({\Omega }\).
d) Với giá trị nào của \(F\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung? Hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) hay không?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) khi \(2.1 + 3 = F\) hay \(F = 5\).
Vậy \({F_A} = 5\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - 2.0 + F = F\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) không có điểm chung; Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\Omega }\) F = 5\).
d) \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung khi \(F \ge {F_A} = 5\).
Do đó hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) không đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\).
Hoạt động 1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)
Miền nghiệm \({\Omega }\) của hệ (I) là miền tứ giác \(OABC\) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:x + 2y - F = 0\) hay \(y = - \frac{x}{2} + \frac{F}{2}\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Với giá trị nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\), điểm \(B\)?
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Với điều kiện nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung?
d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\). Biểu thức \(F\) đạt được các giá trị đó tại điểm nào?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
‒ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\) đạt được tại các đỉnh của tứ giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) khi \(0 + 2.0 - F = 0\) hay \(F = 0\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) khi \(2 + 2.3 - F = 0\) hay \(F = 8\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - \frac{0}{2} + \frac{F}{2} = \frac{F}{2}\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Với điều kiện \(0 \le F \le 8\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung.
d) Ta có: \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {5;0} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;0} \right) = 0,F\left( {0;2} \right) = 4,F\left( {2;3} \right) = 8,F\left( {5;0} \right) = 5\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = 8\) tại điểm \(B\left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = 0\) tại điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Thực hành 1
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 4x + 3y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 8 \le 0\\2x - y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {0;4} \right)\)
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {4;2} \right)\)
Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {3,5;1} \right)\)
Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;1} \right)\)
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;4} \right) = 12;F\left( {4;2} \right) = 22;F\left( {3,5;1} \right) = 17;F\left( {0;1} \right) = 3\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {4;2} \right) = 22;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;1} \right) = 3\).
Thực hành 2
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 25x + 10y \to \min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y \le 6\\x + y \ge 4\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Viết lại ràng buộc của bài toán thành
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y - 6 \le 0\\x + y - 4 \ge 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {2;2} \right)\).
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 6\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Do \({\Omega }\) nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức \(F = 25x + 10y\) đều dương nên \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của \({\Omega }\).
Ta có \(F\left( {2;2} \right) = 25\,.\,2 + 10\,.\,2 = 70;F\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right) = 25 \cdot \frac{{18}}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} = 94\).
Do đó \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(A\left( {2;2} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {2;2} \right) = 70\).
- Hoạt động 1
- Hoạt động 2
- Thực hành 1
- Thực hành 2
- Vận dụng
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)
Miền nghiệm \({\Omega }\) của hệ (I) là miền tứ giác \(OABC\) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:x + 2y - F = 0\) hay \(y = - \frac{x}{2} + \frac{F}{2}\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Với giá trị nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\), điểm \(B\)?
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Với điều kiện nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung?
d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\). Biểu thức \(F\) đạt được các giá trị đó tại điểm nào?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
‒ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\) đạt được tại các đỉnh của tứ giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) khi \(0 + 2.0 - F = 0\) hay \(F = 0\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) khi \(2 + 2.3 - F = 0\) hay \(F = 8\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - \frac{0}{2} + \frac{F}{2} = \frac{F}{2}\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Với điều kiện \(0 \le F \le 8\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung.
d) Ta có: \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {5;0} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;0} \right) = 0,F\left( {0;2} \right) = 4,F\left( {2;3} \right) = 8,F\left( {5;0} \right) = 5\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = 8\) tại điểm \(B\left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = 0\) tại điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 8 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 2x + y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\) (II)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\) gọi là các đỉnh của \({\Omega }\).
Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:2x + y = F\) hay \(d:y = - 2x + F\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Tìm giá trị của \(F\) để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\). Gọi giá trị tìm được là \({F_A}\).
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) trên \({\Omega }\).
d) Với giá trị nào của \(F\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung? Hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) hay không?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) khi \(2.1 + 3 = F\) hay \(F = 5\).
Vậy \({F_A} = 5\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - 2.0 + F = F\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) không có điểm chung; Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\Omega }\) F = 5\).
d) \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung khi \(F \ge {F_A} = 5\).
Do đó hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) không đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 4x + 3y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 8 \le 0\\2x - y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {0;4} \right)\)
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {4;2} \right)\)
Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {3,5;1} \right)\)
Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;1} \right)\)
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;4} \right) = 12;F\left( {4;2} \right) = 22;F\left( {3,5;1} \right) = 17;F\left( {0;1} \right) = 3\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {4;2} \right) = 22;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;1} \right) = 3\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 25x + 10y \to \min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y \le 6\\x + y \ge 4\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Viết lại ràng buộc của bài toán thành
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y - 6 \le 0\\x + y - 4 \ge 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {2;2} \right)\).
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 6\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Do \({\Omega }\) nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức \(F = 25x + 10y\) đều dương nên \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của \({\Omega }\).
Ta có \(F\left( {2;2} \right) = 25\,.\,2 + 10\,.\,2 = 70;F\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right) = 25 \cdot \frac{{18}}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} = 94\).
Do đó \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(A\left( {2;2} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {2;2} \right) = 70\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
\(F = 3x + 3y \to \max ,\min \)
có tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\) (được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là \(A\left( {0;5} \right),\)\(B\left( {4;1} \right),C\left( {2;1} \right)\) và \(D\left( {0;2} \right)\).
a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.
b) Hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại bao nhiêu điểm? Giải thích.
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;F\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;F\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;F\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;5} \right) = F\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;2} \right) = 6\).
b) Tại mọi điểm \(\left( {x;y} \right)\) trên cạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\), ta luôn có \(x + y - 5 = 0\) hay \(x + y = 5\).
Do đó \(F = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15\).
Vậy hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại mọi điểm thuộc ạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\).
Gợi Ý Phương Pháp Tiếp Cận Cho Bài Học Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Với định hướng phát triển năng lực của bộ sách , các bài tập trong phần Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thường không đơn thuần chỉ là việc áp dụng một công thức cứng nhắc. Môn Toán học Lớp 12 yêu cầu sự tư duy liên kết rất cao. Đối với các câu hỏi lý thuyết, học sinh cần rèn luyện kỹ năng đọc hiểu văn bản, trích xuất từ khóa (keyword) quan trọng để trả lời đúng trọng tâm, tránh lan man. Đối với dạng bài tập tính toán hay suy luận logic, điều quan trọng nhất là phải tóm tắt được đề bài (đề bài cho dữ kiện gì, yêu cầu tìm đại lượng nào), sau đó phác thảo sơ đồ tư duy giải quyết vấn đề trước khi bắt tay vào giải chi tiết. Lời giải được cung cấp trong bài viết này đã tuân thủ chặt chẽ nguyên tắc đó: luôn giải thích lý do tại sao lại sử dụng công thức/phương pháp này để các bạn dễ dàng theo kịp mạch tư duy.
Lưu Ý Quan Trọng Về Cách Trình Bày Bài Tập Môn Toán học
Một bài giải hoàn hảo không chỉ cần đáp số chính xác mà còn phụ thuộc rất lớn vào cách trình bày. Đối với học sinh Lớp 12, việc rèn luyện kỹ năng trình bày khoa học, sạch đẹp là vô cùng cần thiết để ghi trọn vẹn điểm số trong các kỳ thi tự luận. Khi tham khảo lời giải Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo trên website, các bạn hãy chú ý đến cấu trúc của một bài làm chuẩn mực. Nếu là một bài Toán/Lý/Hóa, hãy luôn nhớ ghi công thức tổng quát trước khi thay số, nhớ ghi đơn vị ở đáp số cuối cùng và có câu kết luận (Vậy...). Nếu là bài Văn/Sử/Địa, hãy trình bày thành các đoạn văn rõ ràng, có luận điểm, luận cứ rành mạch. Đừng bao giờ viết tắt những thuật ngữ chuyên ngành không được phép. Việc tuân thủ sự chỉn chu ngay từ khi làm bài tập về nhà sẽ giúp bạn tạo được thiện cảm rất lớn đối với giáo viên chấm bài.
Lời Khuyên Về Khả Năng Tự Nghiên Cứu Và Tham Khảo Khách Quan
Chúng tôi tạo ra chuyên trang lời giải sách môn Toán học với mong muốn mang đến một "gia sư ảo" (virtual tutor) miễn phí, giúp các bạn học sinh tháo gỡ những khúc mắc ngoài giờ lên lớp. Tuy nhiên, kiến thức luôn mang tính đa chiều, đặc biệt đối với các câu hỏi mở, câu hỏi vận dụng sáng tạo (VDC) trong SGK. Đáp án mà chúng tôi đưa ra trong bài Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo được xem là phương án tham khảo chuẩn mực và logic nhất, nhưng không phải là duy nhất. Chúng tôi luôn khuyến khích các bạn phát huy tư duy phản biện (Critical Thinking). Nếu bạn tìm ra một cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn, hoặc có một góc nhìn lập luận sắc bén hơn so với bài giải mẫu, hãy mạnh dạn chia sẻ nó trong phần Bình luận (Comment) ở phía dưới trang. Điều đó chứng tỏ bạn đã thực sự thấu hiểu và làm chủ được môn học này.
Góc Thảo Luận Và Hỗ Trợ Chuyên Môn Trực Tuyến
Quá trình tự học môn Toán học lớp 12 đôi khi sẽ khiến bạn cảm thấy đơn độc và bế tắc khi đối mặt với một vấn đề quá hóc búa. Đừng lo lắng! Chuyên mục hướng dẫn giải bài Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo của chúng tôi được thiết kế đi kèm với hệ thống hỏi đáp tương tác trực tiếp. Nếu trong quá trình đối chiếu bài giải mà bạn phát hiện ra một dấu phép tính bị sai sót do lỗi đánh máy, hoặc có một bước biến đổi công thức nào đó quá tắt khiến bạn không hiểu được, xin vui lòng để lại ý kiến ngay lập tức. Đội ngũ giáo viên và các kiểm duyệt viên học thuật của website sẽ thường xuyên theo dõi các câu hỏi của học sinh để giải đáp, giải thích lại cặn kẽ (reply) trong thời gian sớm nhất, đảm bảo luồng kiến thức bạn tiếp nhận luôn được thông suốt và chính xác tuyệt đối.