Giải mục 3 trang 62, 63, 64 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm \(M\) trên trần nhà và đánh dấu điểm \(M'\) nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng \(MM'\) với mặt sàn?

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(MM'\) vuông góc với mặt sàn.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(C\), đường thẳng \(CD\) và tam giác \(SC{\rm{D}}\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết:

• Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Vậy \(B\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

• Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)\)

Vậy \(A\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Lại có \(B\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Vậy đường thẳng \(AB\) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(CD\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

• Ta có:

\(A\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

\(B\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

\(S \in \left( {SAB} \right)\)

Vậy tam giác \(SAB\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(SCD\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không thuộc \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) trên \(b\) và gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( P \right)\).

a) Xác định hình chiếu \(b'\) của \(b\) trên \(\left( P \right)\).

b) Cho \(a\) vuông góc với \(b\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);

ii) hai đường thẳng \(a\) và \(b'\).

c) Cho \(a\) vuông góc với \(b'\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);

ii) giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(AA' \bot \left( P \right),BB' \bot \left( P \right),A,B \in b\)

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(b\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(A'B'\).

Vậy \(b' \equiv A'B'\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow AA' \bot a\\a \bot b\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b'} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b'} \right)\\b' \subset mp\left( {b,b'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b'\)

c) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow AA' \bot a\\a \bot b'\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b'} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b'} \right)\\b \subset mp\left( {b,b'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\)

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại \(H\). Chứng minh \(AH \bot BC\).

Phương pháp giải:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng \({90^ \circ }\).

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\\OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\\ \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\end{array}\)

Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng \(AB\) trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết:

Thả dây dọi từ điểm \(A\) và đánh dấu điểm \(A'\) nơi đầu quả dọi chạm sàn.

Thả dây dọi từ điểm \(B\) và đánh dấu điểm \(B'\) nơi đầu quả dọi chạm sàn.

Khi đó đoạn thẳng \(A'B'\) là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng \(AB\) trên trần nhà xuống nền nhà.