Giải bài 18 trang 75 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = 1\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = 2\)

Lời giải chi tiết

Định lí về các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) nếu \(M \ne 0\).

a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 3.4 = 12\).

b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 4}} = \frac{4}{4} = 1\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4 \ge 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt 4 = 2\)