Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 6

a) Khi đó \(A \cup B\) là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”

b) Biến cố \(A \cup B\) và \(A \cap B\) là hai biến cố xung khắc

c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6

d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.

a) Thể tích hình chóp là: \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

c) Khoảng cách \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

d) Khoảng cách \(d\left( {AD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)

b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)

c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).

Với a > 0 thì \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)

\(\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }} = \sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{6}}}\)

Đáp án B.

Đạo hàm của hàm số logarit

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)

Đáp án C.

Sử dụng công thức \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {x + 9} \right) - \left( {x + 6} \right)}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\).

Đáp án C.

\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 7} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 7 = {3^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 7 = 9}\\{ \Leftrightarrow {x^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow x = {\rm{ \;}} \pm 4(tm)}\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 4;4} \right\}\)

Đáp án A.

Sử dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ne {\rm{\;}} - 1} \right)\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 6}\\{ \Rightarrow f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1}\end{array}\)

Đáp án D.

Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản.

Ta có: \(y = 2{x^2} - 3x + 7\)\( \Rightarrow y' = 4x - 3\)

Đáp án A.

Cho hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)

Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\).

Vì A,B là hai biến cố xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Từ đó suy ra \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Đáp án A.

\({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC\)

Từ giả thiết ta thấy \(OA \bot (OBC)\) và OBC là tam giác vuông nên thể tích cần tìm là:

\({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{{{a^3}}}{6}\)

Đáp án D.

\({a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\) với \(0 < a < 1\)

\({a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\) với \(a > 1\)

\(\frac{1}{{{2^x}}} > 8 \Leftrightarrow {2^{ - x}} > {2^3} \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - x > 3 \Leftrightarrow x < {\rm{ \;}} - 3\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)

Đáp án B.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng tạo thành.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB} \right.\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{BC \bot AB}\\{BC \bot SB}\end{array} \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \angle } \right.SBA\).

Xét vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 {\rm{ \;}} \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Đáp án D.

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp.

Ta có: \(y' = 2cos3x.\left( { - \sin 3x} \right).3 = {\rm{ \;}} - 6\sin 3x.cos3x = {\rm{ \;}} - 3\sin 6x\)

Đáp án C.

A,B là hai biến cố độc lập nên: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).

Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. "

Gọi \(X\) là biến cố: "người thứ nhất ném trúng rổ" \( \Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{5}\).

Gọi Y là biến cố: "người thứ hai ném trúng rổ" \( \Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{7}\).

Ta thấy biến cố X,Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {X \cdot Y} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).

Đáp án D.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

\((SC,\widehat {(ABD})) = (SC;\widehat {(ABCD})) = (\widehat {SC;AC}) = \widehat {SCA}.\)

Xét tam giác vuông SAC, ta có:

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{SA}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} }} = \sqrt 3 .\)

Suy ra \(\widehat {SCA} = {60^\circ }\).

Đáp án B.

Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau. Giải phương trình tìm hoành độ tiếp điểm và suy ra tọa độ tiếp điểm.

ĐKXĐ: \(x \ne - 1\)

Ta có \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(2x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 1\). Khi đó ta có \(\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = {\rm{ \;}} - 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y = 2\left( {x - 0} \right) - 1 = 2x - 1\) (loại)

Với \(x = {\rm{ \;}} - 2 \Rightarrow y = 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y = 2\left( {x + 2} \right) + 3 = 2x + 7\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow \) Tọa độ tiếp điểm là \(\left( { - 2;3} \right)\).

Vậy tọa độ tiếp điểm cần tìm là \(\left( { - 2;3} \right)\).

Đáp án A.

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = h.B\)

Ta có: \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\)

Theo giả thiết \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)

Lại có: \(\tan 60^\circ = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ đã cho là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)

Đáp án C.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}h.B\)

Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.7{a^2}.9a = 21{a^3}\)

Đáp án B.

a) Khi đó \(A \cup B\) là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”

b) Biến cố \(A \cup B\) và \(A \cap B\) là hai biến cố xung khắc

c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6

d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.

Dùng kiến thức về biến cố, biến cố đối, biến cố xung khắc, xác suất của biến cố

a) Sai. Vì \(A \cup B\) là biến cố: “xạ thủ A bắn trúng hoặc xạ thủ B bắn trúng”.

b) Sai. Vì biến cố \(A \cap B\) nằm trong \(A \cup B\).

c) Sai. Vì xác suất để A và B bắn trượt lần lượt là: 0,3 và 0,4. Xác suất cả hai người bắn trượt là: 0,06

d) Đúng. Vì xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là biến cố đối của biến cố cả hai người đều bắn trượt: 1 – 0,06 = 0,94

a) Thể tích hình chóp là: \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

c) Khoảng cách \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

d) Khoảng cách \(d\left( {AD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

a) Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}h.B\)

b) Áp dụng định lí Pytago

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

d) \(d\left( {AD;SC} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\)

a) Sai.

Gọi \(M\) là trung điểm BC, Góc giữa mặt bên \((SBC)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(\widehat {SMO} = 60^\circ \).

Xét \(\Delta SOM\) có \(OM = \frac{a}{2},SMO = 60^\circ \) thì

 \(SO = OM \cdot \tan \widehat {SMO} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO{S_{AGCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}(dvtt)\).

b) Đúng.

Đúng. Xét \(\Delta SOB\) vuông tại O ta có:

\(SB = \sqrt {O{M^2} + O{B^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\).

c) Đúng.

Kẻ OH vuông góc với SM khi đó \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right) = OH\)

Xét \(\Delta SOM\)vuông tại O có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

d) Sai

Vì \(AD//CB\) mà \(CB \subset \left( {SBC} \right)\) nên

\(d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {AD;\left( {SCB} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)

b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)

c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

b) Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau

c) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\)

d) Chia trường hợp rồi tìm các giá trị m thỏa mãn

a) Sai

Ta có: \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 \Rightarrow g'\left( 3 \right) = 48\)

Ta có \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = 37 \Rightarrow A\left( {3;37} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(A\left( {3;37} \right)\) là: \(y = 48\left( {x - 3} \right) + 37 \Rightarrow y = 3x - 107\)

b) Đúng.

Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) nên ta có hệ số góc bẳng \( - 6\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 = - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 1\) vậy \(B\left( {0;1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(B\left( {0;1} \right)\) là: \(y = - 6\left( {x - 0} \right) + 1 = - 6x + 1\)

c) Sai

Ta có \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 3 = 6{x^2} - 6\\ \Leftrightarrow \left( {m + 6} \right){x^2} - 2mx - 3 = 0\end{array}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 6\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m \ne - 6\).

d) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\).

\(f(x) = - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\)

\( \Rightarrow f'(x) = - m{x^2} + 2mx - 3\)

\(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\({\rm{TH1: }}m = 0 \Rightarrow f'(x) = - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\)

\({\rm{TH2: }}m \ne 0\)

\( - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 \le m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 3} \right.} \right.\)

Vậy \(0 \le m \le 3\).

Ta có: \(s(t)'' = v(t)' = a(t)\)

\(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t \Rightarrow v(t) = 3{t^2} - 6t - 9 \Rightarrow a(t) = 6t - 6\)

\(v = 0 \Rightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Vậy \(a(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\).

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

A, B là hai biến cố bất kỳ ta luôn có:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1\)

Dùng biến cố đối

\({n_\Omega } = C_{10}^3 = 120\)

Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số chẵn"

\(\bar A\) : "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ".

Để chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ thì cả 3 số phải cùng lẻ

\( \Rightarrow {n_{\bar A}} = C_6^3 = 20 \Rightarrow {n_A} = 120 - 20 = 100.\)

Vậy \(P(A) = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\).

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = h.B\)

Ta có: \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow \left( {A'B,(ABC)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\)

Theo giả thiết \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)

Lại có: \(\tan 60^\circ = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ đã cho là \({V_{ABC \cdot A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)

\({a^x} = {a^y} \Leftrightarrow x = y\)

Ta có: \({27^{2x - 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow {3^{6x - 9}} = {3^{ - {x^2} - 2}}\)

 \( \Leftrightarrow 6x - 9 = - {x^2} - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 7}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\{ 1; - 7\} \)

Sử dụng công thức logarit để giải phương trình

\(\log _a^2\left( {{a^2}b} \right) \cdot {\log _a}\frac{b}{a} + 4 = 0{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}b - {{\log }_a}a} \right) = - 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2 + {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = - 4\)

\( \Leftrightarrow \left( {\log _a^2b + 4{{\log }_a}b + 4} \right)\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = - 4\)

\( \Leftrightarrow \log _a^3b + 4\log _a^2b + 4{\log _a}b - \log _a^2b - 4{\log _a}b - 4 = - 4\)

\( \Leftrightarrow \log _a^3b + 3\log _a^2b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_a}b = 0}\\{{{\log }_a}b = - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {0; - 3} \right\}\).